PSEB CLASS 10 MATHEMATICS 4 MARKS QUESTIONS WITH ANSWERS

ਦਸਵੀਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀ - ਗਣਿਤ (Mathematics)

20 ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਅਤੇ ਹੱਲ

ਅਧਿਆਇ 1: ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ
1. ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ √5 ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ √5 ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ √5 = a/b (ਜਿੱਥੇ a, b ਸਹਿ-ਅਭਾਜ ਹਨ)।

ਦੋਵਾਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਨ ਤੇ: 5 = a²/b² ⇒ a² = 5b²।

ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ a², 5 ਨਾਲ ਭਾਜ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ a ਵੀ 5 ਨਾਲ ਭਾਜ ਹੋਵੇਗਾ।

ਮੰਨ ਲਓ a = 5c, ਤਾਂ (5c)² = 5b² ⇒ 25c² = 5b² ⇒ b² = 5c²।

ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ b ਵੀ 5 ਨਾਲ ਭਾਜ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਡੀ ਧਾਰਨਾ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ ਕਿ a, b ਸਹਿ-ਅਭਾਜ ਹਨ।

ਸਿੱਟਾ: √5 ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਅਧਿਆਇ 2: ਬਹੁਪਦ
2. ਬਹੁਪਦ x² - 2x - 8 ਦੇ ਸਿਫਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।

ਗੁਣਨਖੰਡ: x² - 4x + 2x - 8 = 0 ⇒ x(x - 4) + 2(x - 4) = 0

(x - 4)(x + 2) = 0 ⇒ ਸਿਫਰ ਹਨ: 4, -2।

ਜਾਂਚ: ਸਿਫਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ = 4 + (-2) = 2 (ਜੋ ਕਿ -b/a ਹੈ)।

ਸਿਫਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = 4 × (-2) = -8 (ਜੋ ਕਿ c/a ਹੈ)।

ਉੱਤਰ: ਸਿਫਰ = 4, -2

ਅਧਿਆਇ 3: ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ
3. ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ (Elimination Method) ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ: x + y = 5 ਅਤੇ 2x - 3y = 4।

ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 3x + 3y = 15।

ਹੁਣ (3x + 3y) + (2x - 3y) = 15 + 4 ⇒ 5x = 19।

x = 19/5।

x ਦਾ ਮੁੱਲ ਭਰਨ 'ਤੇ: 19/5 + y = 5 ⇒ y = 5 - 19/5 = 6/5।

ਉੱਤਰ: x = 19/5, y = 6/5

ਅਧਿਆਇ 4: ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ
4. ਦੋ ਘਾਤੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 2x² - 7x + 3 = 0 ਦੇ ਮੂਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

a = 2, b = -7, c = 3।

D = b² - 4ac = (-7)² - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25।

x = [-b ± √D] / 2a = [7 ± √25] / 4।

x = (7+5)/4 = 3 ਅਤੇ x = (7-5)/4 = 1/2।

ਉੱਤਰ: ਮੂਲ = 3, 1/2

ਅਧਿਆਇ 5: ਅੰਕ ਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀਆਂ
5. ਉਸ AP ਦੇ ਪਹਿਲੇ 22 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ d = 7 ਅਤੇ 22ਵਾਂ ਪਦ 149 ਹੈ।

a₂₂ = a + 21d ⇒ 149 = a + 21(7) ⇒ 149 = a + 147 ⇒ a = 2।

S_n = n/2 [a + l] = 22/2 [2 + 149]।

S₂₂ = 11 [151] = 1661।

ਉੱਤਰ: ਜੋੜ = 1661

ਅਧਿਆਇ 6: ਤ੍ਰਿਭੁਜ
6. ਥੇਲਜ਼ ਥਿਊਰਮ (BPT) ਅਨੁਸਾਰ ਜੇਕਰ DE || BC ਹੋਵੇ ਅਤੇ AD=1.5, DB=3, AE=1 ਹੋਵੇ ਤਾਂ EC ਪਤਾ ਕਰੋ।

BPT ਅਨੁਸਾਰ: AD/DB = AE/EC।

1.5 / 3 = 1 / EC।

EC = 3 / 1.5 = 2 cm।

ਉੱਤਰ: EC = 2 cm

ਅਧਿਆਇ 7: ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਜਿਉਮੈਟਰੀ
7. ਬਿੰਦੂਆਂ A(1, -1) ਅਤੇ B(-4, 6) ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਨੂੰ 2:3 ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਵੰਡ ਸੂਤਰ: x = (m1x2 + m2x1)/(m1+m2), y = (m1y2 + m2y1)/(m1+m2)।

x = [2(-4) + 3(1)] / 5 = (-8+3)/5 = -1।

y = [2(6) + 3(-1)] / 5 = (12-3)/5 = 1.8।

ਉੱਤਰ: ਬਿੰਦੂ = (-1, 1.8)

ਅਧਿਆਇ 8: ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ
8. ਸਿੱਧ ਕਰੋ: (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot²A।

ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਖੋਲ੍ਹਣ 'ਤੇ: sin²A + cosec²A + 2 + cos²A + sec²A + 2।

(sin²A + cos²A) + 4 + (1 + cot²A) + (1 + tan²A)।

1 + 4 + 1 + cot²A + 1 + tan²A = 7 + tan²A + cot²A।

ਸਿੱਟਾ: ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ = ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ

ਅਧਿਆਇ 9: ਉਚਾਈਆਂ ਅਤੇ ਦੂਰੀਆਂ
9. ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਮੀਨਾਰ ਦੇ ਪੈਰ ਤੋਂ 30m ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਿਖਰ ਦਾ ਉਚਾਣ ਕੋਣ 30° ਹੈ। ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਮੰਨ ਲਓ ਉਚਾਈ h ਹੈ। tan 30° = h / 30।

1/√3 = h / 30 ⇒ h = 30/√3 = 10√3 m।

ਉੱਤਰ: ਉਚਾਈ = 10√3 ਮੀਟਰ

ਅਧਿਆਇ 10: ਚੱਕਰ
10. ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਬਾਹਰੀ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਖਿੱਚੀਆਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਤ੍ਰਿਭੁਜ OPA ਅਤੇ OPB ਵਿੱਚ, OA = OB (ਅਰਧਵਿਆਸ)।

OP = OP (ਸਾਂਝੀ ਭੁਜਾ)। ∠OAP = ∠OBP = 90°।

RHS ਨਿਯਮ ਨਾਲ ΔOPA ≅ ΔOPB, ਇਸ ਲਈ PA = PB।

ਸਿੱਟਾ: PA = PB (CPCT ਰਾਹੀਂ)

ਅਧਿਆਇ 11: ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਖੇਤਰਫਲ
11. ਅਰਧਵਿਆਸ 6cm ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅਰਧਵਿਆਸੀ ਖੰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਕੋਣ 60° ਹੈ।

ਖੇਤਰਫਲ = (θ/360) × πr²।

= (60/360) × (22/7) × 6 × 6।

= (1/6) × (22/7) × 36 = 132/7 cm²।

ਉੱਤਰ: 18.86 cm² (ਲਗਭਗ)

ਅਧਿਆਇ 12: ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ
12. ਇੱਕ ਠੋਸ ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਉੱਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ। ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਅਰਧਵਿਆਸ 1cm ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਅਰਧਵਿਆਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਆਇਤਨ π ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਆਇਤਨ = ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਇਤਨ + ਅਰਧ ਗੋਲੇ ਦਾ ਆਇਤਨ।

= (1/3)πr²h + (2/3)πr³।

= (1/3)π(1)²(1) + (2/3)π(1)³ = π/3 + 2π/3 = π।

ਉੱਤਰ: π cm³

ਅਧਿਆਇ 13: ਅੰਕੜਾ ਵਿਗਿਆਨ
13. ਦਿੱਤੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਪਤਾ ਕਰੋ (ਵਰਗ: 0-10, 10-20, 20-30; f: 5, 10, 5)।

ਵਰਗ ਚਿੰਨ੍ਹ (x): 5, 15, 25।

f × x: 25, 150, 125। ∑fx = 300।

∑f = 20। ਮੱਧਮਾਨ = 300 / 20 = 15।

ਉੱਤਰ: ਮੱਧਮਾਨ = 15

ਅਧਿਆਇ 14: ਸੰਭਾਵਨਾ
14. ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਂਟੀ ਗਈ ਤਾਸ਼ ਦੀ ਗੁੱਟੀ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਪੱਤਾ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ 'ਲਾਲ ਰੰਗ ਦਾ ਬਾਦਸ਼ਾਹ' ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਕੁੱਲ ਪੱਤੇ = 52।

ਲਾਲ ਰੰਗ ਦੇ ਬਾਦਸ਼ਾਹ = 2 (ਇੱਕ ਇੱਟ ਦਾ, ਇੱਕ ਪਾਨ ਦਾ)।

ਸੰਭਾਵਨਾ = 2 / 52 = 1 / 26।

ਉੱਤਰ: 1/26

ਅਧਿਆਇ 5: ਅੰਕ ਗਣਿਤਿਕ ਲੜੀਆਂ
15. ਏ.ਪੀ. (AP) 2, 7, 12, ... ਦੇ ਪਹਿਲੇ 10 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਇੱਥੇ a = 2, d = 7 - 2 = 5, ਅਤੇ n = 10 ਹੈ।

ਸੂਤਰ: S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]

S₁₀ = 10/2 [2(2) + (10 - 1)5]

S₁₀ = 5 [4 + 9(5)] = 5 [4 + 45] = 5 [49]

ਉੱਤਰ: ਜੋੜ = 245

ਅਧਿਆਇ 7: ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਜਿਉਮੈਟਰੀ
16. x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ (2, -5) ਅਤੇ (-2, 9) ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ P(x, 0) ਹੈ।

PA² = PB² ⇒ (x - 2)² + (0 - (-5))² = (x - (-2))² + (0 - 9)²

x² - 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81

-4x + 29 = 4x + 85 ⇒ -8x = 56 ⇒ x = -7

ਉੱਤਰ: ਬਿੰਦੂ = (-7, 0)

ਅਧਿਆਇ 8: ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ
17. ਜੇਕਰ 15 cot A = 8 ਹੋਵੇ, ਤਾਂ sin A ਅਤੇ sec A ਪਤਾ ਕਰੋ।

cot A = 8/15 (ਆਧਾਰ/ਲੰਬ)। ਇਸ ਲਈ ਆਧਾਰ = 8, ਲੰਬ = 15।

ਕਰਣ = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17।

sin A = ਲੰਬ/ਕਰਣ = 15/17।

sec A = ਕਰਣ/ਆਧਾਰ = 17/8।

ਉੱਤਰ: sin A = 15/17, sec A = 17/8

ਅਧਿਆਇ 12: ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ
18. 64 cm³ ਆਇਤਨ ਵਾਲੇ ਦੋ ਘਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਬਣੇ ਘਣਾਵ ਦੀ ਸਤ੍ਹਾ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਘਣ ਦੀ ਭੁਜਾ a³ = 64 ⇒ a = 4 cm।

ਘਣਾਵ ਲਈ: ਲੰਬਾਈ (l) = 4+4 = 8cm, ਚੌੜਾਈ (b) = 4cm, ਉਚਾਈ (h) = 4cm।

ਖੇਤਰਫਲ = 2(lb + bh + hl) = 2(32 + 16 + 32)

= 2(80) = 160 cm²।

ਉੱਤਰ: ਖੇਤਰਫਲ = 160 cm²

ਅਧਿਆਇ 14: ਸੰਭਾਵਨਾ
19. ਇੱਕ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ 5 ਲਾਲ, 8 ਚਿੱਟੇ ਅਤੇ 4 ਹਰੇ ਬੰਟੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਬੰਟਾ ਅਚਾਨਕ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ 'ਹਰਾ ਨਹੀਂ' ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਕੁੱਲ ਬੰਟੇ = 5 + 8 + 4 = 17।

ਹਰੇ ਬੰਟੇ = 4। ਇਸ ਲਈ 'ਹਰਾ ਨਹੀਂ' ਬੰਟੇ = 17 - 4 = 13।

ਸੰਭਾਵਨਾ P(ਹਰਾ ਨਹੀਂ) = ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜੇ / ਕੁੱਲ ਨਤੀਜੇ।

ਉੱਤਰ: 13/17